Một bài toán hay về Đại số vectơ

Bài toán:

Trong không gian cho tứ diện \(ABCD\). Đặt \(\overrightarrow{DA}=\vec{a}\), \(\overrightarrow{DB}=\vec{b}\), \(\overrightarrow{DC}=\vec{c}\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(D\) trên mặt phẳng \(ABC\). Chứng minh rằng:
$$\overrightarrow{DH}=\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{\left(\vec{d}\right)^2}.\vec{d}$$
Ở đây ký hiệu \((\vec{a},\vec{b},\vec{c})\) là tích hỗn tạp của ba vectơ và \(\vec{d}=[\vec{a},\vec{b}]+[\vec{b},\vec{c}]+[\vec{c},\vec{a}]\).

Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ trực chuẩn \(Dxyz\) gốc \(D\).

Ta có: \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}-\overrightarrow{DA}=\vec{b}-\vec{a}\ ;\ \overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DC}-\overrightarrow{DA}=\vec{c}-\vec{a}\)

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((ABC)\) là:

\([\vec{b}-\vec{a}, \vec{c}-\vec{a}]=[\vec{b},\vec{c}]+[\vec{a},\vec{b}]+[\vec{c},\vec{a}]=\vec{d}\)

Lấy \(X\) là một điểm tùy ý trên mặt phẳng \((ABC)\) và đặt \(\vec{x}=\overrightarrow{DX}\). Phương trình mặt phẳng \((ABC)\) là:

\(\vec{d}.(\overrightarrow{x}-\vec{a}) = 0\)

Khai triển và thu gọn:

\(\vec{d}.\vec{x}-(\vec{a},\vec{b},\vec{c})=0\)

Hình chiếu của gốc tọa độ \(D\) lên mặt phẳng \((ABC)\) xác định bởi:

\(\overrightarrow{DH}=\vec{d}.t\) với \(t=\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{|\vec{d}|^2}\)

Vậy \(\overrightarrow{DH}=\dfrac{(\vec{a},\vec{b},\vec{c})}{\left(\vec{d}\right)^2}.\vec{d}\)